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中南财经大学学报1996年第4期正态分布的分布函数及分位数的算法和编程技巧彭维湘3一般统计学教科书对正态分布的分布函数和分位数的算法较少介绍一本文在分析算法的基础上,用语言编写程序.讨论如何用计算机语言表现统计算法.一密度函数和分布函数设连续随机变量的密度函数为:()=—.等……(1)√2称服从标准正态分布.的期望值()和方差()分别为:胁一去一=.…()一一—一:1……(3)其分布函数为:()一一….4)二,分布函数值和分位数的算法(一)分布函数值的算法(4)式不能被求解成为简单初等函数.所以不能直接用定义初等复合函数的方法计算其值+需要借助比较复杂的算法一种比较直观的算法是把正态密度函数(1)式展开为泰勒级数,然后,对泰勒级数的各项求定积分,最后相加各项数值即得分布函数()的值.固为:(=一去南+…一…,……(5)且:(1:一.—.5+一……(6)/2/27所:中南财经大学学报1996年第4期<>汁一+×2×7_-??十(一1)广弓五干+………'计算过程分为以下几步:1.确定的数值,代八(7)式;2.(7)式是一个无穷级数,计算时只能对前面有限项相加.选择项数越多,结果愈准确.但数值精确度并不要求无限高.若4&;&;5.选45项可使精度达到10以上;若&;4,选取20项就足够了.3.定义一个中问函数()用它表示每个级数项的值:2(,)一(1)可_(一1?2?…5…一(在计算3()时,还要用到阶乘函数,定义为();()一1×2×3×……×……(9)4.当分别等于1.2,….45时调用(.),并累加其值,再作适当调整得到()上述算法可图示为:还有其它一些算法如连分式逼近,近似初等函数式等.这里给出一种近似初等函数式算法,不讨论推导过程:1一.4361836,一一0.1201676,=0.937298614?0.2012()一1一—=×(1×+2×2+3×)一…?一(10)¨这种算法有足够的精度且简单易行,其程序编写也比较简单,本文不讨论这种算法的编程.在后面的程序中,()用()表示.(二)分位数的算法前面讨论的是根据给定的值,计算出一个介于.与1之间的概率值()(被称为分布函数值)的算法;现在讨论先给出一个概率值,再求一个数值使()=.为对应于概率的正态分布的分位数.根据(7)的定义,有下述等式:1()一一—==……(11)96中南财经大学学报1996年第4期这是一个求解非线性方程的问题,可用基于二阶展开的迭代法求解.令()=()一一0,把()展开为在.处的二阶泰勒级数:()一()一≈()+.)△+(.)△一……(12)由此解得;^=二鱼:!±:二::!!垒【!一()式中:()一(.)一]()一一2……(141,(.)一一』(13)△是一个微增量?如果找到一个数值￡使△足够小.则为满足(10)式的,目为(10)式是(11)的近似展开式按上述算法从某个初始值开始通过多次迭代.可使△小于某个给定的误差值.具体算法如下1?给定一个初始值,若等于0,(13)式无意义,不妨设置为一个很小的数如000001;2.计算(14-)式中各变量的值;3?按(13)式计算△,若(13)无实根解(即分子根号内的数值小于0),取:/一;;……(15)』/4?如果△非足够小,在.上加一个小数.再按第2步计算△.通过试算发现:如果加上由(13)或(15)式计算的△一会有较大的误差.不妨加上竿(分母也可为2,3,5等);5?重复2,3?4的计算步骤直到△小于给定的误差值上述算法的计算框图如下广_—磊————————————一—————————————三,编程方法——4接(13)或(15)计算△=————1————一——～'————一1一——～如果△&;让0一.+继续熊代如果△&;退出造代按前面讨论的算法编程,把所有计算结果都设计戚外部自定义函数,正态分布函数值用(),其变量是标准正态分布随机变量;正态分布分位数值用().其自变量是标准正态分布随机变量小于某数值的概率.在计算这两个函数时还用到阶乘函数(),级数项函数(,?正态分布密度函数及其一阶导数函数等.这些自定义函数在其他统计分析中(如回归分析,抽样估计,假设检验)被调用起来十分方便.97中南财经大学学报1996年第4期,主程序.975.(196)主程序: